MATEMATIKA LOGIKA
1. Kalimat Terbuka dan Pernyataan
Dalam logika matematika ada dua kalimat penting yang akan dibahas yaitu Kalimat Terbuka dan Kalimat Pernyataan. Kalimat pernyataan secara singkat disebut pernyataan saja.
a. Kalimat Terbuka
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salah.
Contoh :
Tunjukkan kalimat di bawah ini adalah kalimat terbuka :
1. Harga 1 unit komputer pentium IV antara Rp 4.000.000,- dan Rp 10.000.000,-
2. Nilai rata-rata siswa SMA yang ikut akselerasi harus lebih besar dari 8,5.
3. x – 2 = 3
4. x –1 < 5
5. x2 – 2x – 8 = 0
6. x2 – 2x – 8 > 0
7. 2x2 – x – 6 = 0
8. x3 – 1 = 0
b. Pernyataan
· Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai kebenaran : benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, …
· Nilai kebenaran digunakan untuk menentukan benar atau salah suatu pernyataan. Nilai kebenaran ditulis dengan lambang t, misal nilai kebenaran p ditulis t(p). Jika p benar ditulis t(p) = B, dan jika p salah ditulis t(p) = S
· Kalimat tanya, kalimat perintah dan sapaan bukan merupakan suatu pernyataan.
· Kalimat Terbukan dapat diubah menjadi Pernyataan dengan mengganti nilai variabel pada himpunan semestanya.
Contoh :
1. Kalimat manakah yang merupakan pernyataan :
a. Berapa harga 1 unit komputer ?
b. Rajin-rajinlah belajar !
c. Berapa umur anda?
d. Kelas berapa anda sekarang ?
e. Bandung adalah ibukota Jawa Tengah
2. Tentukan benar atau salah pernyataan di bawah ini :
a. p : 2 adalah bilangan genap
b. q : 2 merupakan faktor dari 9
Dalam logika matematika ada dua kalimat penting yang akan dibahas yaitu Kalimat Terbuka dan Kalimat Pernyataan. Kalimat pernyataan secara singkat disebut pernyataan saja.
a. Kalimat Terbuka
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salah.
Contoh :
Tunjukkan kalimat di bawah ini adalah kalimat terbuka :
1. Harga 1 unit komputer pentium IV antara Rp 4.000.000,- dan Rp 10.000.000,-
2. Nilai rata-rata siswa SMA yang ikut akselerasi harus lebih besar dari 8,5.
3. x – 2 = 3
4. x –1 < 5
5. x2 – 2x – 8 = 0
6. x2 – 2x – 8 > 0
7. 2x2 – x – 6 = 0
8. x3 – 1 = 0
b. Pernyataan
· Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai kebenaran : benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, …
· Nilai kebenaran digunakan untuk menentukan benar atau salah suatu pernyataan. Nilai kebenaran ditulis dengan lambang t, misal nilai kebenaran p ditulis t(p). Jika p benar ditulis t(p) = B, dan jika p salah ditulis t(p) = S
· Kalimat tanya, kalimat perintah dan sapaan bukan merupakan suatu pernyataan.
· Kalimat Terbukan dapat diubah menjadi Pernyataan dengan mengganti nilai variabel pada himpunan semestanya.
Contoh :
1. Kalimat manakah yang merupakan pernyataan :
a. Berapa harga 1 unit komputer ?
b. Rajin-rajinlah belajar !
c. Berapa umur anda?
d. Kelas berapa anda sekarang ?
e. Bandung adalah ibukota Jawa Tengah
2. Tentukan benar atau salah pernyataan di bawah ini :
a. p : 2 adalah bilangan genap
b. q : 2 merupakan faktor dari 9
Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.
Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.
Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “ ” atau “ ”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:
3) Konjungsi ( )
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ( )
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. p : 1 akar persamaan (B)
q : -1 akar persamaan (B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)
5) Implikasi/ Kondisional ( )
jika p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional ( )
p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. 2 x 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)
(B) (S)
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya :
Konversnya :
Kontraposisinya :
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:
| | | | | Implikasi | Invers | Konvers | Kontraposisi |
| B | B | S | S | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | B | B | S |
| S | B | B | S | B | S | S | B |
| S | S | B | B | B | B | B | B |
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:
Catatan:
“ ” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika , maka (premis 1)
Jadi (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
- Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
- Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
——–
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.
| | | |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Argumentasi ini sah karena untuk premis dan p benar, konklusi q juga benar.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
2. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
———-
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
| | | | | |
| B | B | S | S | B |
| B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | B |
| S | S | B | B | B |
Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi juga benar.
Contoh:
Persamaan , , maka dan berlainan
Jadi persamaan ,
3. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
———-
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
| | | | | | |
| B | B | B | B | B | B |
| B | B | S | B | S | S |
| B | S | B | S | B | B |
| B | S | S | S | B | S |
| S | B | B | B | B | B |
| S | B | S | B | S | B |
| S | S | B | B | B | B |
| S | S | S | B | B | B |
Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi
Contoh:
Jika , maka
Jika , maka
Jadi jika , maka
Tidak ada komentar:
Posting Komentar